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小升初奥数难点之巧解约数问题
发布时间:2011-12-29 22:09:49  阅览数:1202

  计算公式:

    求一个自然数N的约数个数与约数和,先把这个自然数分解质因数,表示为:

    N﹦P1 a1·P2a2·P3a3……PKak

    N的约数的个数为:(a1+1)×(a2+1)×……×(ak+1);

    N的约数和为:(1+P1+ P12+…+ P1a1)×(1+P2+ P22+…+ P2a2)×……×(1+PK+PK2+…+PKak)。

    例如:72﹦23×32

    先找出23的所有(3+1﹦)4个约数:1、2、22、23;

    再找出32的所有(2+1﹦)3个约数:1、3、32。

    用23的每一个约数依次去乘以32的每一个约数,可以求出72的所有[(3+1)×(2+1)﹦]12个约数:

    1、3、32、2×1、2×3、2×32、22×1、22×3、22×32、23×1、23×3、23×32。

    约数和为:

    (1+2+22+23)×(1+3+32)﹦195

    约数个数与约数和的计算公式证明过程比较复杂,需要从单个质数,到只含有几个相同质因数的合数,到含有几个不同质因数的合数逐步推理,寻找、验证规律。小学生理解比较困难,可以到初中奥数学习中再进一步探究。

    【题目】:

    求500的约数的个数。

    【解析】:

    分解质因数:500﹦22×53

    根据约数个数计算公式,可以求出500的约数个数为:

    (2+1)×(3+1)﹦12(个)。

    【题目】:

    求720所有约数的和。

    【解析】:

    分解质因数:720﹦24×32×5

    根据约数和计算公式,可以求出720所有约数的和为:

    (1+2+22+23+24)×(1+3+32)×(1+5)﹦2418。

    【题目】:

    小于200且有15个约数的自然数是多少?

    【解析】:

    根据约数个数计算公式分解15可得:

    ①15﹦1+14,这个数可以写在某一个质数的14次方;

    ②15﹦3×5﹦(1+2)×(1+4),这个数包含两个不同的质因数,其中一个质因数出现2次,另一个质因数出现4次。

    假设是第①种情况,这个数最小是2的14次方,大于200,不符合题意。

    假设是第②种情况,这个数最小是:24×32﹦144;依次再取大一点的质因数,可以算出这个自然数大于200,不符合题意。

    所以这个自然数是144。

    【题目】:

    数A﹦25×33×52×7有许多约数,其中最大的两位数约数是多少?

    【解析】:

    对A的质因数重新组合尝试,可以算出其中最大的两位数约数为:

    25×3﹦96。

    【题目】:

    有一个整数,个位是0,它共有8个约数,这个数最小是多少?

    【解析】:

    根据约数个数计算公式分解8可得:

    ①8﹦1+7,这个数可以写在某一个质数的7次方;

    ②8﹦2×4﹦(1+1)×(1+3),这个数包含两个不同的质因数,其中一个质因数出现1次,另一个质因数出现3次。

    又因为这个整数的个位是0,至少含有两个不同的质因数2和5,所以第①种情况不符合题意。应该是第②种情况,这个数最小是:

    23×5﹦40。

    【题目】:

    在一个数的约数中,将所有约数两两求和,所有的和中,最小的是3,最大的是1200,这个数是多少?

    【解析】:

    约数两两求和是3,这两个约数只能是1和2;

    每个数的约数都是成对出现的。因为这个数包含约数2,所以这个数最大的约数是它本身,此外最大的约数是它的一半。假设这个数的一半为a,则这个数的约数两两求和,最大的和就是(a+2a),由题意可得:

    a+2a﹦1200

    解得:a﹦400

    所以这个数是:400×2﹦800。

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