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小升初奥数难点之方程未知数巧设定
发布时间:2011-12-29 22:07:47  阅览数:993

  在小学低年级,都是采用算术解法。到了高年级,就开始学设未知数,列方程解应用题。这就从算术走向代数。

    有些同学不适应,觉得算术解法挺好的。设个不知道是什么东西的x,不是添乱么?

    教材编写者考虑到学生是过渡期,采用的很多例题都是可以用两种解法解决的。这样一来,用设未知数的方法来解一些例题,没有明显的优势,导致相当部分的学生在心里面更加接受不了新方法。

    有些新老师没经验,觉得学生不用心。明明我们要现在要学习的方程法更先进,为何还要“抱残守缺”呢?

    其实,人在接触新事物的时候,总是会不由自主地去联系熟悉的事物。一个数学题,如果学生自己用原来方法就能很好解决了,当老师介绍一个新方法时,有抵触情绪,老师要表示理解。

    下面我们通过举例来说明设未知数的优越性,要注意,这里的举例是循序渐进的。

    两辆汽车从两地同时出发,相向而行。已知甲车每小时行40千米,乙车每小时行50千米,甲车行完全程比乙车多用1.5小时,两地相距多少千米?

    算术解法:甲车每行1千米需要1/40小时,乙车每行1千米需要1/50小时,则每行1千米甲车比乙车多用(1/40-1/50)小时行完全程,甲车比乙车多用1.5小时,说明1.5中含有多少个(1/40-1/50),全程就有多少千米。所以1.5÷(1/40-1/50)=300千米。

    方程解法:设两地相距x千米,则x/40=x/50+1.5,解得x=1.5÷(1/40-1/50)=300千米。

    也许有人会说,你的算术解法写得太啰嗦了,只要最后一句话就好。的确,前面的分析可以在脑子想,没必要写出来。这样一来,从表面上来看,好像算术解法更快一些,列式与计算一气呵成,但从列关系等式这个角度来说,设未知数后,列式更容易,基本上无需动脑筋,只要用数学符号把题目重新表述一遍就行了。

    两种方法的根本区别在于,算术方法列式子,把整个题目的思考量集中到式子的左边;而列方程,则做到了方程两边各有分担。明白了这一点,就明白为何算术方法列式子要比列方程要难。

    要强调的是,算术和代数并不是完全对立的,我们可以将代数看作是算术的发展。如果将算术方法得到的算式后面加个等号,再加个x,不就是一个方程了么?

    下面这个丢番图年龄问题也是同样的道理。

    希腊数学家丢番图(公元3-4世纪)的墓碑上记载着:“他生命的六分之一是幸福的童年。再活了他生命的十二分之一,两颊长起了细细的胡须。他结了婚,又度过了一生的七分之一。再过5年,他有了儿子,感到很幸福。可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半。儿子死后,他在极度悲痛中度过了四年,也与世长辞了。”

    解法1:(5+4)÷(1-1/6-1/12-1/7-1/2)=84。

    解法2:设丢番图活了x岁,根据题意得x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x,解得x=84。与算术法相比,列方程的方法更加自然,相当于用数学式子把题目文字意思重新表述一遍,无需考虑其他,体现了设未知数的优越性。

    (解法3:注意到7与12互素,x是7与12的公倍数,而按常理,人的年龄不可能等于168岁,何况是生活条件很差的古代人。所以丢番图活了84岁。参看公倍数解题)

    上面两道题,还不足以说明代数法的好处。对于那些算术解法的“顽固分子”,还应该给出更有挑战性的题目。譬如:

    甲、乙、丙、丁四人去森林里采蘑菇。准备回家的时候,他们每人数了一下自己篮子里的蘑菇,四人一共采了72个。在回去的路上,大家发现甲采的有一半是毒蘑菇,于是把它们扔掉了;乙的篮子坏了,漏掉了2个;丙跟在后面正好捡起来,放进了自己的篮子里,这是他们三个人的蘑菇正好一样多;丁在回家的路上边走边采,当走出森林时,篮子里的蘑菇已经增加了1倍。这时,他们四个人的数目完全相同了。你知道他们走出森林后,每个人的蘑菇数量吗?

    这题不难,但用算术法容易搞得头晕,而设未知数之后,题目就明朗多了。

    设准备回家时,甲有x个,走出森林后,甲有x/2个;乙原来有x/2+2个;丙原来有x/2-2个;丁原来有x/4个;而x+x/2+2+x/2-2+x/4=72,解得x=32个。所以在走出森林后,每个人的蘑菇数量是32/2=16个。

    题目涉及的对象越多,关系越复杂,算术解法就越难理清头绪。进入高年级之后,遇到问题的难度增加了,就有必要学习代数法。

    你也许曾经为解鸡兔同笼头痛过,为解不出盈亏问题而伤心,不要着急,等你学好设未知数解方程之后,这些都是小菜!不信,看看你的爸爸妈妈,他们哪还记得包含各种小技巧、灵活多变的算术解法啊,他们拿起笔就是“设××为x”,一下子就把题目解决了。难道你不想像他们一样棒么?

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