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小升初奥数难点之巧解行程问题
发布时间:2011-12-28 22:54:03  阅览数:1054

 验解决问题策略的多样性,提高解题能力。现就行程问题的教学,举例谈些体会,供同行们参考。

    一、巧用假设步步深入

    有些行程问题应用题若按常规思路,去分析、解答,则会无从下手,所以采用假设法,步步为营、稳扎稳打,就很易找到解题的途径。

    例1:一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时,驶出时顺风,每小时行驶30千米;驶回时逆风,每小时行驶的路程是顺风的。这艘轮船最多驶出多远就应往回驶了?

    此题,我们若假设6小时全是逆风行驶,则可行驶30××6=144(千米),而实际有一部分时间是顺风行驶,故拿1小时逆风行驶的路程换成1小时顺风行驶的路程,每换1小时相差30×+30=54(千米),这样可求出顺风行驶的时间为144÷54=(时)。由于顺风每小时行驶30千米,小时可以行驶30×=80(千米)。由此求得,这艘轮船最多可驶出80千米就应往回驶了。综合算式为30××6÷(30×+30)×30=80(千米)。

    当然我们也可假设全是顺风行驶的,求出逆风行驶的时间为30×6÷(30×+30)=(时),同样可求出这艘轮船最多可驶出30××=80(千米)。

    二、巧理关系合理转化

    有些稍复杂的行程问题应用题,如果我们能理清题中的已知条件与所求问题之间的关系,采用“转化”法,把复杂的“行程问题”转化为 “和差问题”来解答,那问题就简单多了。

    例2:甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出,到达对方站后立即返回,经过4小时两车在途中第二次相遇。相遇时甲车比乙车多行120千米。求两车的速度。

    从题中我们不难看出,甲、乙两车从出发到第二次相遇,一共行了三个全程,即两车4小时共行的路程和为160×3=480(千米);而两车相遇时甲车比乙车多行了120千米,这“120千米”即为两车4小时所行的路程差,根据和差问题的公式“大数=(和+差)÷2”,可求出甲车4小时行的路程为(480+120)÷2=300(千米),甲车的速度为每小时行300÷4=75(千米),同样可求乙车的速度为每小时行(480-120)÷2÷4=45(千米)。

    当然,这道题我们也可先求出甲、乙两车的速度和为160×3÷4=120(千米),再求出两车的速度差为120÷4=30(千米),然后根据和差问题的公式,直接求出甲车的速度为每小时行(120+30)÷2=75(千米),乙车的速度为每小时行(120-30)÷2=45(千米)。

    三、巧制表格逐步消元

    有些行程问题应用题,当给出的条件多而复杂时,可将题中的已知条件进行分类整理,并用表格的形式呈现出条件之间的关系,这样就可借助表格进行逐步消元,从而把一道数量关系复杂的题目简单化。

    例3:王老师每天早上晨练,他第一天跑步1000米,散步1600米,共用25分钟;第二天跑步2000米,散步800米,共用20分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求:(1)王老师跑步的速度;(2)王老师散步800米所用的时间。

    要求这两个问题关键是求速度。一般方法很难奏效,我们不妨将题中的已知条件进行分类整理,制作如下表格进行推算:

 

    从上述表格中我们可清楚地知道,王老师跑步的速度为每分钟200米,散步的速度为每分钟80米,王老师散步800米所用的时间为10分钟。

    四、巧增条件化繁为简

    有些行程问题应用题,若能巧妙地运用“增元”的思路进行分析思考,恰当增加一个条件,也许能把题目化繁为简,从而达到难题迎刃而解的目的。

    例4:A、B两地相距1550米,甲、乙两人分别以每分钟75米和65米的速度同时从A向B出发,同时丙以每分钟85米的速度从B向A出发。丙在多少分钟后,恰好位于甲、乙两人的中间?

    这道题按照一般思路来解,会感到很棘手,不知道该如何处理甲、乙、丙之间的位置关系。如果我们巧妙地再增加一个人,就可轻松解决此题。

    我们不妨增加一个丁,他与丙的速度相同,并且与丙同时从B向A出发,那么当丙处在甲、乙两人中间D时,丁也处于甲、乙两人中间的D处。因为丙与丁在同一位置,所以这时丁与乙的距离CD和丁与甲的距离DE相等。

    此时,如果让丙不走DE这一段路程,而去走DC之间的距离,则四人正好合走了2个全程。由此可以求出时间:

    1550×2÷(75+65+85×2)=10(分)。

    即丙出发10分钟后,恰好处于甲、乙两人的中间。

    五:巧换问题化难为易

    有些行程问题应用题,如果直接寻找所求问题的答案往往难度很大,这时,我们若把问题变换成另一个等价问题,那么事情就好解决多了。

    例5:小红和小丽同住一幢大楼,她们同时骑车出发,同时到达敬老院做好事。在途中,小丽骑车的时间是小红休息时间的3倍,小丽休息的时间是小红骑车时间的。谁骑车的速度快?为什么?小红骑车的速度是小丽骑车速度的多少倍?

    由于两人经过的路程一样,所用的总时间也相同,我们不难知道谁休息的时间长,谁骑车的速度就快;也就是说谁骑车的时间长,谁骑车的速度就慢。所以我们可把求“谁骑车的速度快”这一问题,等价转换为求“谁休息的时间长”这个问题。

    我们不妨设小红休息的时间为a ,小丽骑车的时间则为3a;小丽休息的时间为b,小红骑车的时间则为b÷=4b。

    根据两人所用的总时间相同,列式为3a+b=a+4b,化简得a=1.5b。

    因a=1.5b,而1.5b>b,也即小红休息的时间比小丽休息的时间长,所以,小红骑车的速度快。小红骑车的速度就是小丽骑车速度的1.5倍。

    六、巧找倍比灵活解题

    有些较复杂的行程问题应用题,既不知道速度也不告诉路程,这时,我们可根据其已知条件之间的倍比关系,寻找巧妙的解题方法。

    例6:在一圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发,反向而行,8分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过12分钟两人再次相遇,乙环行一周需多少分钟?

    初看题目似乎毫无头绪,无从下手,但仔细审题后很容易发现甲乙两人从第一次相遇到第二次相遇,共用了4+12=16(分钟),也即两人行一圈用16分钟。

    甲乙两人从出发到第一次相遇在C点,共要8分钟,因为16÷8=2,故所以两人8分钟正好合行了半圈的路程,也即从A经C到B的路程。甲行完这半圈的路程要8+4=12(分钟),所以,甲行完全程要12×2=24(分钟)。

    我们不难知道,乙从B到C行了8分钟,甲从C到B行了4分钟,可知甲、乙两车行相同的路程所需时间的倍比关系。同样的一段路所用的时间乙是甲的8÷4=2倍,可见乙环行一周的时间也是甲的2倍,即需24×2=48(分钟)。

    总之,教学中积极、适宜地进行多种解题策略的训练,有利于充分调

    动学生思维的积极性,提高解题能力,开发学生的智力潜能,促进学生的全面发展,培养和发挥学生的创造性。

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